Stefan Schönherr befragte zum Maß Dezibel Peter Strassacker (9/2012).
Stefan: Die Maßeinheit dB ist logarithmisch, wie kam man zu diesem Maß?
Peter: Es gibt zumindest zwei Vorteile eines logarithmischen Maßes: - die Zahlen bleiben klein, so dass sich leicht damit rechnen lässt. - Die Multiplikation bei normalen Werten wird durch eine Addition ersetzt.
Stefan: Das erinnert mich an den Rechenschieber, den man früher nutzte.
Peter: Richtig, man konnte multiplizieren, in dem man einen Wert auf dem Schieber hinzuzählte: Will man 2 mit einer anderen Zahl multiplizieren, so wird der untere Balken mit der 1 auf die zu multiplizierende Zahl 2 geschoben. Zu einer unten gewählten Zahl, kann man oben das Multiplikationsergebnis ablesen (2*2=4, 2*3=6, 2*4=8, 2*5=10).
Stefan: Richtig, aber was hat das nun mit Elektrotechnik zu tun?
Peter: Ich stelle mir vor, dass man in der Anfangszeit der Elektrotechnik mit Telefonleitungen arbeitete, wo das Signal abhängig vom Übertragungsweg geschwächt wurde. Nimmt die Spannung des Signals beispielsweise alle 1000 m um 50% ab und wird das Signal mit 1 V eingespeist, so ist:
Stefan: Man kommt zum jeweils nächsten Wert, indem man alle 1000 m mit dem Faktor 0,5 multipliziert. Aber bei 7500 m ist die Rechnung komplizierter.
Peter: Genau; deshalb sollten wir das alles etwas eleganter mit Logarithmen berechnen.
Stefan: Was ist dazu das Maß?
Peter: Wir wählen das Dezibel (dB). Hier hat man irgendwann willkürlich den 10-er Logarithmus festgelegt. Damit die Zahl nicht zu klein ist, hat man die Logarithmen von Leistungsverhältnissen (P steht für Leistung) mit einem Faktor 10 multipliziert:
x (in dB) = 10 * log10(P2/P1)
Stefan: Was ist mit Spannungsverhältnissen? y (in dB) = ???(U2/U1)
Peter: Lass es uns berechnen: y (in dB) = 10 * log10(P2/P1)
setzen wir nun P = U*U/R ein, U steht für Spannung, R steht für Widerstand y (in dB) = 10 * log10((U2*U2/R) / (U1*U1/R)) y (in dB) = 10 * log10((U2/U1) * (U2/U1))
ersetzen wir nun die Multiplikation wie oben beim Rechenschieber durch die Addition der Logarithmen: y (in dB) = 10 * (log10(U2/U1) + log10(U2/U1)) = 10 * 2 * log10(U2/U1) = 20 * log10(U2/U1)
Stefan: Somit kann man zusammen fassen:
x (in dB) = 10 * log10(P2/P1) - (1) Gleichung für Leistungsverhältnisse
x (in dB) = 20 * log10(U2/U1) - (2) Gleichung für Spannungsverhältnisse
Peter: Genau! Wenn wir jetzt zu unserer Aufgabe zurück gehen und berücksichtigen, dass hier pro 1000 m die Spannung halbiert wird, was einer Reduktion von ca. 6 dB entspricht.
Stefan: Wir rechnen also mit Dezibel (dB) indem wir addieren. Interessieren wir uns für Spannungsverhältnisse oder Leistungsverhältnisse so wandeln wir zurück oder verwenden dazu eine Tabelle:
Peter: So ist es! Das gilt auch für Pegel, die der Lautsprecher in bestimmer Entfernung abgibt.
Stefan: Der Pegel wird bei Lautsprechern im Verhältnis zur Hörgrenze des Menschen berechnet?
Peter: So ist es! Der Wert liegt zwischen 0 dB (gerade noch hörbar) und 120 dB (Schmerzgrenze)
Machen wir ein Beispiel dazu: Ein Lautsprecher habe den Kennschalldruck: 90 dB / 1m und 1W Ein Verstärker mit 100 Watt sei verfügbar, also 20 dB über 1 W eine passive Frequenzweiche reduziere den Pegel um 0,5 dB
Somit ist der abgegebene Pegel des Lautsprechers, der - vom Verstärker mit 100 Watt - über die Frequenzweiche angesteuert wird: P = 90dB + 20dB -0,5dB = 109,5 dB
Stefan: Die Werte sind also einfach zu addieren.
Peter: Exakt; das ist einer der Vorteile des logarithmischen Maßes.
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