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die Maßeinheit Dezibel (dB)

Peter Strassacker Dr. Peter Strassacker
seit 1977 Lautsprecherbau
Bücher über Materialforschung und Feldtheorie
Boxen wie Lagrange 98, Pascal, Sub 10-60

Stefan Schönherr befragte zum Maß Dezibel
Peter Strassacker (9/2012).
 

Stefan:
Die Maßeinheit dB ist logarithmisch, wie kam man zu diesem Maß?

Peter:
Es gibt zumindest zwei Vorteile eines logarithmischen Maßes:
- die Zahlen bleiben klein, so dass sich leicht damit rechnen lässt.
- Die Multiplikation bei normalen Werten wird durch eine Addition ersetzt.

Stefan:
Das erinnert mich an den Rechenschieber, den man früher nutzte.

Peter:
Richtig, man konnte multiplizieren, in dem man einen Wert auf dem Schieber hinzuzählte:
Rechenschieber
Will man 2 mit einer anderen Zahl multiplizieren, so wird der untere Balken mit der 1 auf die zu multiplizierende Zahl 2 geschoben. Zu einer unten gewählten Zahl, kann man oben das Multiplikationsergebnis ablesen (2*2=4, 2*3=6, 2*4=8, 2*5=10).

Stefan:
Richtig, aber was hat das nun mit Elektrotechnik zu tun?

Peter:
Ich stelle mir vor, dass man in der Anfangszeit der Elektrotechnik mit Telefonleitungen arbeitete, wo das Signal abhängig vom Übertragungsweg geschwächt wurde. Nimmt die Spannung des Signals beispielsweise alle 1000 m um 50% ab und wird das Signal mit 1 V eingespeist, so ist:

Distanz in m 0 1000 2000 3000 4000 5000 7500
Spannung U in V 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 ???

Stefan:
Man kommt zum jeweils nächsten Wert, indem man alle 1000 m mit dem Faktor 0,5 multipliziert. Aber bei 7500 m ist die Rechnung komplizierter.

Peter:
Genau; deshalb sollten wir das alles etwas eleganter mit Logarithmen berechnen.

Stefan:
Was ist dazu das Maß?

Peter:
Wir wählen das Dezibel (dB). Hier hat man irgendwann willkürlich den 10-er Logarithmus festgelegt. Damit die Zahl nicht zu klein ist, hat man die Logarithmen von Leistungsverhältnissen (P steht für Leistung) mit einem Faktor 10 multipliziert:

x (in dB) = 10 * log10(P2/P1)

Stefan:
Was ist mit Spannungsverhältnissen? y (in dB) = ???(U2/U1)

Peter:
Lass es uns berechnen:
y (in dB) = 10 * log10(P2/P1)

setzen wir nun P = U*U/R ein, U steht für Spannung, R steht für Widerstand
y (in dB) = 10 * log10((U2*U2/R) / (U1*U1/R))
y (in dB) = 10 * log10((U2/U1) * (U2/U1))

ersetzen wir nun die Multiplikation wie oben beim Rechenschieber durch die Addition der Logarithmen:
y (in dB) = 10 * (log10(U2/U1) + log10(U2/U1)) = 10 * 2 * log10(U2/U1) = 20 * log10(U2/U1)

Stefan:
Somit kann man zusammen fassen:

x (in dB) = 10 * log10(P2/P1)   -   (1) Gleichung für Leistungsverhältnisse

x (in dB) = 20 * log10(U2/U1)   -   (2) Gleichung für Spannungsverhältnisse

Peter:
Genau! Wenn wir jetzt zu unserer Aufgabe zurück gehen und berücksichtigen, dass hier pro 1000 m die Spannung halbiert wird, was einer Reduktion von ca. 6 dB entspricht.

Distanz in m 0 1000 2000 3000 4000 5000 7500
Pegelabfall in dB 0 6 12 18 24 30 6*7,5=45
Spannung U in V 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,0055

Stefan:
Wir rechnen also mit Dezibel (dB) indem wir addieren. Interessieren wir uns für Spannungsverhältnisse oder Leistungsverhältnisse so wandeln wir zurück oder verwenden dazu eine Tabelle:

dB -6,02 0 3,01 6,02 9,5 10 20 40 60 80 100
U2/U1 0,5 1,0 1,41 2,0 3,0 3,16 10 100 1000 10 000 100 000
P2/P1 0,25 1,0 2 4 9 10 100 10000 1 000 000 100 000 000 10 000 000 000

Peter:
So ist es! Das gilt auch für Pegel, die der Lautsprecher in bestimmer Entfernung abgibt.

Stefan:
Der Pegel wird bei Lautsprechern im Verhältnis zur Hörgrenze des Menschen berechnet?

Peter:
So ist es! Der Wert liegt zwischen 0 dB (gerade noch hörbar) und 120 dB (Schmerzgrenze)

Machen wir ein Beispiel dazu:
Ein Lautsprecher habe den Kennschalldruck: 90 dB / 1m und 1W
Ein Verstärker mit 100 Watt sei verfügbar, also 20 dB über 1 W
eine passive Frequenzweiche reduziere den Pegel um 0,5 dB

Somit ist der abgegebene Pegel des Lautsprechers, der
- vom Verstärker mit 100 Watt
- über die Frequenzweiche angesteuert wird:
P = 90dB + 20dB -0,5dB = 109,5 dB

Stefan:
Die Werte sind also einfach zu addieren.

Peter:
Exakt; das ist einer der Vorteile des logarithmischen Maßes.

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